Рациональные и натуральные числа

Числа: натуральные, целые, рациональные, действительные. Обыкновенные и десятичные дроби

Рациональные и натуральные числа
Натуральные числа – это те числа, с которых когда-то всё началось. И сегодня это первые числа, с которыми встречается в своей жизни человек, когда в детстве учится считать на пальцах или счетных палочках.

Определение: натуральными называют числа, которые используют для счета предметов (1, 2, 3, 4, 5, … ) [Число 0 не является натуральным.

Оно и в истории математики имеет свою отдельную историю и появилось много позже натуральных чисел.]

Множество всех натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5, … ) обозначают буквой N.

Целые числа

Научившись считать, следующее, что мы делаем – это учимся производить над числами арифметические действия. Обычно сначала (на счетных палочках) учатся выполнять сложение и вычитание.

Со сложением всё понятно: сложив любые два натуральных числа, в результате всегда получим тоже натуральное число. А вот в вычитании обнаруживаем, что из меньшего отнять большее так, чтобы в результате получилось натуральное число, мы не можем.

(3 − 5 = чему?) Здесь возникает идея отрицательных чисел. (Отрицательные числа уже не являются натуральными)

На этапе возникновения отрицательных чисел (а они появились позже дробных) существовали и их противники, считавшие их бессмыслицей. (Три предмета можно показать на пальцах, десять можно показать, тысячу предметов можно представить по аналогии.

А что такое “минус три мешка”? — В то время числа хоть уже и использовались сами по себе, в отрыве от конкретных предметов, количество которых они обозначают, всё ещё были в сознании людей гораздо ближе к этим конкретным предметам, чем сегодня.

) Но, как и возражения, так и основной аргумент в пользу отрицательных чисел, пришел из практики: отрицательные числа позволяли удобно вести счет долгам. 3 − 5 = −2 — у меня было 3 монеты, я потратила 5. Значит, у меня не просто закончились монеты, но и 2 монеты я кому-то должна.

Если верну одну, долг изменится −2+1=−1, но тоже может быть представлен отрицательным числом.

В итоге, отрицательные числа появились в математике, и теперь у нас есть бесконечное количество натуральных чисел (1, 2, 3, 4, …) и есть такое же количество им противоположных (−1, −2, −3, −4, …). Добавим к ним ещё 0. И множество всех этих чисел будем называть целыми.

Определение: Натуральные числа, им противоположные и нуль составляют множество целых чисел. Оно обозначается буквой Z.

Любые два целых числа можно вычесть друг из друга или сложить и получить в результате целое число.

Идея сложения целых чисел уже предполагает возможность умножения, как просто более быстрого способа выполнения сложения. Если у нас есть 7 мешков по 6 килограмм, мы можем складывать 6+6+6+6+6+6+6 (семь раз прибавлять к текущей сумме по 6), а можем просто помнить, что такая операция всегда будет давать в результате 42. Как и сложение шести семерок 7+7+7+7+7+7 тоже всегда будет давать 42.

Результаты операции сложения определенного числа самого с собой определенное количество раз для всех пар чисел от 2 до 9 выписываются и составляют таблицу умножения.

Для умножения целых чисел больше 9 придумывается правило умножения в столбик. (Которое распространяется и на десятичные дроби, и которое будет рассматриваться в одной из следующих статей.

) При умножении любых двух целых чисел друг на друга всегда получим в результате целое число.

Рациональные числа

Теперь деление. По аналогии с тем, как вычитание является обратной операцией для сложения, приходим к идее деления как обратной операции для умножения.

Когда у нас было 7 мешков по 6 килограмм, с помощью умножения мы легко посчитали, что общий вес содержимого мешков составляет 42 килограмма. Представим себе, что мы высыпали всё содержимое всех мешков в одну общую кучу массой 42 килограмма.

А потом передумали, и захотели распределить содержимое обратно по 7 мешкам. Сколько килограмм при этом попадет в один мешок, если будем распределять поровну? – Очевидно, что 6.

А если захотим распределить 42 килограмма по 6 мешкам? Тут мы подумаем о том, что те же общие 42 килограмма могли бы получиться, если бы мы высыпали в кучу 6 мешков по 7 килограмм. И значит при делении 42 килограмм на 6 мешков поровну получим в одном мешке по 7 килограмм.

А если разделить 42 килограмма поровну по 3 мешкам? И здесь тоже мы начинаем подбирать такое число, которое при умножении на 3 дало бы 42.

Для «табличных» значений, как в случае 6 ·7=42 => 42:6=7, мы выполняем операцию деления, просто вспоминая таблицу умножения. Для более сложных случаев используется деление в столбик, которое будет рассмотрено в одной из следующих статей.

В случае 3 и 42 можно «подбором» вспомнить, что 3 ·14 = 42. Значит, 42:3=14. В каждом мешке будет по 14 килограмм.

Теперь попробуем разделить 42 килограмма поровну на 5 мешков. 42:5=?
Замечаем, что 5 ·8=40 (мало), а 5·9=45 (много). То есть, ни по 8 килограмм в мешке, ни по 9 килограмм, из 5 мешков мы 42 килограмма никак не получим. При этом понятно, что в реальности разделить любое количество (крупы, например,) на 5 равных частей нам ничего не мешает.

Операция деления целых чисел друг на друга не обязательно дает в результате целое число. Так мы пришли к понятию дроби. 42:5 = 42/5 = 8 целых 2/5 (если считать в обыкновенных дробях) или 42:5=8,4 (если считать в десятичных дробях).

Обыкновенные и десятичные дроби

Можно сказать, что любая обыкновенная дробь m/n (m – любое целое, n – любое натуральное) представляет собой просто специальную форму записи результата деления числа m на число n.

(m называют числителем дроби, n – знаменателем) Результат деления, например, числа 25 на число 5 тоже можно записать в виде обыкновенной дроби 25/5. Но в этом нет необходимости, так как результат деления 25 на 5 может быть записан просто целым числом 5. (И 25/5 = 5).

А вот результат деления числа 25 на число 3 уже не может быть представлен целым числом, поэтому здесь и возникает необходимость использования дроби, 25:3=25/3. (Можно выделить целую часть 25/3= 8 целых 1/3. Более подробно обыкновенные дроби и операции с обыкновенными дробями будут рассмотрены в следующих статьях.

)

Обыкновенные дроби хороши тем, что, чтобы представить такой дробью результат деления любых двух целых чисел, нужно просто записать делимое в числитель дроби, а делитель в знаменатель.

(123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, …) Затем по возможности сократить дробь и/или выделить целую часть (эти действия с обыкновенными дробями будут подробно рассмотрены в следующих статьях). Проблема в том, что производить арифметические действия (сложение, вычитание) с обыкновенными дробями уже не так удобно, как с целыми числами.

Для удобства записи (в одну строку) и для удобства вычислений (с возможностью вычислений в столбик, как для обычных целых чисел) кроме обыкновенных дробей придуманы ещё и десятичные дроби.

Десятичная дробь – это специальным образом записанная обыкновенная дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т.п. Например, обыкновенная дробь 7/10 – это то же, что и десятичная дробь 0,7. (8/100 = 0,08; 2 целых 3/10=2,3; 7 целых 1/1000 = 7, 001).

Переводу обыкновенных дробей в десятичные и наоборот будет посвящена отдельная статья. Операциям с десятичными дробями – другие статьи.

Любое целое число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1. (5=5/1; −765=−765/1).

Определение: Все числа, которые могут быть представлены в виде обыкновенной дроби, называют рациональными числами. Множество рациональных чисел обозначают буквой Q.

При делении любых двух целых чисел друг на друга (кроме случая деления на 0) всегда получим в результате рациональное число. Для обыкновенных дробей есть правила сложения, вычитания, умножения и деления, позволяющие произвести соответствующую операцию с любыми двумя дробями и получить в результате также рациональное число (дробь или целое).

Множество рациональных чисел – это первое из рассмотренных нами множеств, в котором можно и складывать, и вычитать, и умножать, и делить (кроме деления на 0), никогда не выходя за пределы этого множества (то есть, всегда получая в результате рационально число).

Казалось бы, других чисел не существует, все числа рациональные. Но и это не так.

Действительные числа

Существуют такие числа, которые нельзя представить в виде дроби m/n (где m-целое, n-натуральное).

Какие же это числа? Мы ещё не рассмотрели операцию возведения в степень. Например, 42=4 ·4 = 16.

53=5 ·5 ·5=125.

Как умножение представляет собой более удобную форму записи и вычисления сложения, так и возведение в степень – это форма записи умножения одного и того же числа самого на себя определенное количество раз.

Но теперь рассмотрим операцию, обратную возведению в степень – извлечение корня. Квадратный корень из 16 – это число, которое в квадрате даст 16, то есть число 4. Квадратный корень из 9 – это 3.

А вот квадратный корень из 5 или из 2, например, не может быть представлен рациональным числом.

(Доказательство этого утверждения, другие примеры иррациональных чисел и их историю можно посмотреть, например, в Википедии)

В ГИА в 9 классе есть задание на определение того, является ли число, содержащее в своей записи корень, рациональным или иррациональным. Задача заключается в том, чтобы попытаться преобразовать это число к виду, не содержащему корень (используя свойства корней). Если от корня не удается избавиться, то число иррациональное.

Другим примером иррационального числа является число π, знакомое всем из геометрии и тригонометрии.

Определение: Рациональные и иррациональные числа вместе называют действительными (или вещественными) числами. Множество всех действительных чисел обозначают буквой R.

В действительных числах, в отличии от рациональных, мы можем выразить расстояние между любыми двумя точками на прямой или на плоскости. Если нарисовать прямую и выбрать на ней две произвольные точки или выбрать две произвольные точки на плоскости, то может так получиться, что точное расстояние между этими точками невозможно выразить рациональным числом.

(Пример – гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1 по теореме Пифагора будет равна корню из двух – то есть иррациональному числу. Сюда же относится точная длина диагонали тетрадной клетки (длина диагонали любого идеального квадрата с целыми сторонами).

)

А в множестве действительных чисел любые расстояния на прямой, в плоскости или в пространстве могут быть выражены соответствующим действительным числом.

Источник: http://ege-online-test.ru/theory.php?art=arifm01

1 Натуральные, целые и рациональные числа

Рациональные и натуральные числа

§1. Натуральные, целые и рациональные числа

Известные нам числа 1, 2, 3… называются натуральными. Их используют для счета или обозначения количества предметов, например: один юрист, два юриста и т. д. Кроме того, с помощью натуральных чисел обозначают порядок предметов.

Например, если всех милиционеров в отделении выстроить по росту, то каждому из них можно присвоить номер: первый милиционер, второй милиционер и т. д. Поэтому различают количественные числа — один, два, три, четыре…

, и порядковые числа — первый, второй, третий…

Чтобы записывать натуральные числа, большие десяти, мы пользуемся так называемой десятичной позиционной системой. Слово «позиционная» означает, что значение цифры зависит от ее места, например:

147= 1 • 100 + 4 • 10 + 7 1,

714 = 7-100 + 1 -10 + 4-1,

471 = 4 • 100 + 7 • 10 + 1 • 1.

Слово «десятичная» означает, что используются степени десятки. В другой системе, например, пятиричной, содержащей всего пять цифр 0, 1, 2, 3, 4, числовая позиционная запись расшифровывается так:

143 = 1 • 52 + 4 – 6 + 3 • 1;

в двоичной системе, содержащей всего две цифры 0 и 1, мы получим:

1 011 001 = 1 • 26 + 0 • 25 + 1 – 24 + 1 • 23 + + 0-22+ 0-2 + 1-1.

Натуральные числа можно, как известно, складывать, вычитать, умножать и делить. Однако эти операции неравноценны.

Очевидно, что сумма а + bлюбых двух натуральных чисел а и bснова будет натуральным числом; то же самое можно сказать и о произведении аb.

При этом порядок слагаемых и сомножителей не играет роли, т.е. a + b = b + aиab = bа.

Что же касается операций вычитания и деления, то здесь ситуация иная. Например, разность 5-2 = 3 — число натуральное, но натурального числа 2 – 5 не существует. В последнем случае используют так называемые отрицательные числа и записывают 2-5 =-3, 4-10 =-6 и т.п. Числа а и называются противоположными.

Между натуральными числами и целыми отрицательными числами находится число 0 (нуль).

Его рассматривают как количественное число; нуль предметов данного вида (например, попугаев в Антарктиде) означает отсутствие предметов данного вида.

Пользуясь математической терминологией, можно сказать, что множество попугаев, проживающих в Антарктиде, есть пустое множество. Нуль обладает следующими свойствами:

1) а + 0 = а;

2) а + (-а) = 0;

3) на нуль делить нельзя.

Натуральные числа, целые отрицательные числа и число нуль называются в совокупности целыми числами. Множество всех натуральных чисел обозначается символом N, множество всех целых чисел — символом Z. Наглядно целые числа представляют точками на прямой (шкала термометра):

В отличие от множества натуральных чисел, множество целых чисел устроено более «демократично»: любые два целых числа можно вычитать друг из друга и результат вычитания всегда будет также целым числом. Математики говорят, что множество целых чисел замкнуто относительно операций сложения и вычитания, и что это множество получено расширением множества натуральных чисел.

Потребность расширить множество натуральных чисел возникает и при делении. Например, семь милиционеров нельзя разделить на четыре равные части — такого количества милиционеров 7/4 не существует. Но мы вполне можем разделить семь миллионов рублей на четыре равные части.

Это число (1 миллион 750 тысяч) составляет 7/4 от общей суммы. Аналогичный смысл имеет обозначение , где а и Ъ — любые натуральные или даже целые числа (b¹0). Числа вида  называются обыкновенными дробями или рациональными числами.

Множество всех рациональных чисел обозначается символом Q.

Целое число а можно записать как дробь а/1, поэтому целые числа входят как часть во множество рациональных чисел. В этом случае говорят, что множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел. Точно так же, множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел. Записывается это следующим образом:

N Ì Z Ì Q,

а знак «Ì» читается так: «содержится в», «является подмножеством» или «является частью».

Заметим, что во множестве рациональных чисел «равноправия» еще больше, чем во множестве целых чисел: любые два рациональных числа можно не только вычитать друг из друга, но можно и делить одно на другое (кроме деления на нуль!); при этом в результате указанных действий всегда будут получаться снова рациональные числа. Таким образом, множество рациональных чисел замкнуто относительно всех четырех операций: сложения, вычитания, умножения и деления.

Все натуральные числа, за исключением единицы, подразделяются на простые и составные.

Натуральное число называется составным, если оно представляет собой произведение двух натуральных чисел, не равных единице, например: 4 = 2-2, 39 = 3 • 13, 111 = 3 • 37.

Если натуральное число нельзя представить в виде такого произведения, то оно называется простым, например: 2, 3, 5, 7, 11.

Простые числа играют в математике особую роль. В их жизни много загадочного, и математики, стремясь разгадать эти тайны, открыли (и продолжают открывать до сих пор!) интереснейшие свойства простых чисел, придумали оригинальные математические методы исследования, которые применяются не только в теории чисел, но и в других разделах математики.

Древнегреческий математик Эратосфен предложил способ получения простых чисел, который называется решетом Эратосфена. Представим себе ряд натуральных чисел:

Отметим (кружком) простое число 2 и затем вычеркнем все четные числа (или, как говорят, числа, кратные двум). Согласно определению, вычеркнутые числа не являются простыми, так как делятся на два и их можно записать в виде 2k. Затем отметим простое число 3 и вычеркнем все числа, кратные трем: 3, 6, 9, 12 и т.д.

Эти числа не простые, а составные, так как их можно записать в виде 3k. Часть этих чисел, а именно четные, уже вычеркнута (на рис. 2 они зачеркнуты два раза). Следующее наименьшее незачеркнутое число — 5, оно простое. Выделим его, а затем вычеркнем все числа, кратные пяти: 10, 15, 20 и т.д.

В результате останутся незачеркнутыми только простые числа.

Заметим, что осуществить описанную процедуру полностью практически невозможно, так как множество натуральных чисел бесконечно. Но мы можем, пользуясь решетом Эратосфена, найти «вручную» все простые числа, например, в первой тысяче натуральных чисел. Современные компьютеры позволили отодвинуть эту границу до 1020. Принципиально, возможности ЭВМ здесь не ограничены.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найдите такое число х, что для любого числа а выполняется равенство ха = а.

2. Вспомните, что такое четные и нечетные числа. Назовите все четные простые числа.

3. Будет ли множество четных чисел замкнуто отно­сительно операций сложения, вычитания и умножения?

4. Назовите наименьшее натуральное число.

5. Сравните дроби:  и ;  и ;  и ;  и .

6. Вспомните, что такое среднее арифметическое двух, трех или нескольких чисел. Найдите среднее арифметическое следующих чисел:

а) 1 и 2; б) -3 и 5; в)  и ; г)  и 3; д) ,  и ; е) ,  и

7. Покажите, что следующие числа являются простыми:

2-3 + 1; 2-3-5 + 1; 2 • 3 • 5 • 7 + 1; 2 • 3 • 5 • 7 • 11 + 1.

Попробуйте предсказать общий результат.

ТИПОВОЕ ЗАДАНИЕ

1. Выполните следующие арифметические действия:

Источник: https://studizba.com/lectures/47-matematika/669-matematika-dlya-yuristov/12702-1-naturalnye-celye-i-racionalnye-chisla.html

Числа

Рациональные и натуральные числа
1. $a < b$ or $a=b$ or $a > b$ трихотомия2. если $a\leq b$ и $b\leq a$, то $a=b$ антисимметрия3. если $a\leq b$ и $b\leq c$, то $a\leq c$ транзитивность4. если $a\leq b$, то $a+c\leq b+c$

5. если $a\leq b$, то $a\cdot c\leq b\cdot c$

Примеры целых чисел:
$1, -20, -100, 30, -40, 120…$

Решение уравнения$a+x=b$, где $a$ и $b$ – известные натуральные числа, а $x$ – неизвестное натуральное число, требует введения новой операции – вычитания(-). Если существует натуральное число $x$, удовлетворяющее этому уравнению, то $x=b-a$.

Однако, это конкретное уравнение не обязательно имеет решение на множестве $\mathbb{N}$, поэтому практические соображения требуют расширения множества натуральных чисел таким образом, чтобы включить решения такого уравнения.

Это приводит к введению множества целых чисел: $\mathbb{Z}=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3…\rbrace$.

Поскольку $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$, логично предположить, что введенные ранее операции $+$ и $\cdot$ и отношения $1. $0+a=a+0=a$ существует нейтральный элемент для сложения2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ существует противоположное число $-a$ для $a$

Свойство 5.:
5. если $0\leq a$ и $0\leq b$, то $0\leq a\cdot b$

Множество $\mathbb{Z} $ замкнуто также и относительно операции вычитания, то есть $(\forall a,b\in \mathbb{Z})(a-b\in \mathbb{Z})$.

Рациональные числа $\mathbb{Q}$

Примеры рациональных чисел:
$\frac{1}{2}, \frac{4}{7}, -\frac{5}{8}, \frac{10}{20}…$

Теперь рассмотрим уравнения вида$a\cdot x=b$, где $a$ и $b$ – известные целые числа, а $x$ – неизвестное. Чтобы решение было возможным, необходимо ввести операцию деления ($:$), и решение приобретает вид $x=b:a$, то есть $x=\frac{b}{a}$.

Опять возникает проблема, что $x$ не всегда принадлежит $\mathbb{Z}$, поэтому множество целых чисел необходимо расширить. Таким образом вводится множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ с элементами $\frac{p}{q}$, где $p\in \mathbb{Z}$ и $q\in \mathbb{N}$.

Множество $\mathbb{Z}$ является подмножеством, в котором каждый элемент $q=1$, следовательно $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ и операции сложения и умножения распространяются и на это множество по следующим правилам, которые сохраняют все вышеперечисленные свойства и на множестве $\mathbb{Q}$:$\frac{p_1}{q_1}+\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1}{q_1\cdot q_2}$

$\frac{p-1}{q_1}\cdot \frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot p_2}{q_1\cdot q_2}$

Деление вводится таким образом:
$\frac{p_1}{q_1}:\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1}{q_1}\cdot \frac{q_2}{p_2}$

На множестве $\mathbb{Q}$ уравнение $a\cdot x=b$ имеет единственное решение для каждого $aeq 0$ (деление на ноль не определено). Это значит, что существует обратный элемент$\frac{1}{a}$ or $a{-1}$:
$(\forall a\in \mathbb{Q}\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac{1}{a})(a\cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\cdot a=a)$

Порядок множества $\mathbb{Q}$ можно расширить таким образом:
$\frac{p_1}{q_1} < \frac{p_2}{q_2}\Leftrightarrow p_1\cdot q_2 < p_2\cdot q_1$

Множество $\mathbb{Q}$ имеет одно важное свойство: между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, следовательно, не существует двух соседних рациональных чисел, в отличие от множеств натуральных и целых чисел.

Примеры иррациональных чисел:$\sqrt{2} \approx 1.41422135…$

$\pi \approx 3.1415926535…$

Ввиду того, что между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, легко можно сделать ошибочный вывод, что множество рациональных чисел настолько плотное, что нет необходимости в его дальнейшем расширении.

Даже Пифагор в свое время сделал такую ошибку. Однако, уже его современники опровергли этот вывод при исследовании решений уравнения$x\cdot x=2$ ($x2=2$) на множестве рациональных чисел.

Для решения такого уравнения необходимо ввести понятие квадратного корня, и тогда решение этого уравнения имеет вид $x=\sqrt{2}$.

Уравнение типа $x2=a$, где $a$ – известное рациональное число, а $x$ – неизвестное, не всегда имеет решение на множестве рациональных чисел, и опять возникает необходимость в расширении множества. Возникает множество иррациональных чисел, и такие числа как $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$… принадлежат этому множеству.

Действительные числа $\mathbb{R}$

Объединением множеств рациональных и иррациональных чисел является множество действительных чисел.Поскольку $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$, снова логично предположить, что введенные арифметические операции и отношения сохраняют свои свойства на новом множестве.

Формальное доказательство этого весьма сложно, поэтому вышеупомянутые свойства арифметических операций и отношения на множестве действительных чисел вводятся как аксиомы.

В алгебре такой объект называется полем, поэтому говорят, что множество действительных чисел является упорядоченным полем.

Для того, чтобы определение множества действительных чисел было полным, необходимо ввести дополнительную аксиому, различающую множества$\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R}$. Предположим, что $S$ – непустое подмножество множества действительных чисел.

Элемент $b\in \mathbb{R}$ называется верхней границей множества $S$, если $\forall x\in S$ справедливо $x\leq b$. Тогда говорят, что множество $S$ ограничено сверху. Наименьшая верхняя граница множества $S$ называется супремум и обозначается $\sup S$.

Аналогично вводятся понятия нижней границы, множества, ограниченного снизу, и инфинума $\inf S$ . Теперь недостающая аксиома формулируется следующим образом:

Любое непустое и ограниченное сверху подмножество множества действительных чисел имеет супремум.
Также можно доказать, что поле действительных чисел, определенное вышеуказанным образом, является единственным.

Комплексные числа$\mathbb{C}$

Примеры комплексных чисел:$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),…$

$1 + 5i, 2 – 4i, -7 + 6i…$ где $i = \sqrt{-1}$ или $i2 = -1$

Множество комплексных чисел представляет собой все упорядоченные пары действительных чисел, то есть $\mathbb{C}=\mathbb{R}2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$, на котором операции сложения и умножения определены следующим образом: $(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Существует несколько форм записи комплексных чисел, из которых самая распространенная имеет вид$z=a+ib$, где $(a,b)$ – пара действительных чисел, а число $i=(0,1)$ называется мнимой единицей.

Легко показать, что $i2=-1$. Расширение множества $\mathbb{R}$ на множество $\mathbb{C}$ позволяет определить квадратный корень из отрицательных чисел, что и послужило причиной введения множества комплексных чисел.

Также легко показать, что подмножество множества $\mathbb{C}$, заданное как $\mathbb{C}_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb{R}\rbrace$, удовлетворяет всем аксиомам для действительных чисел, следовательно $\mathbb{C}_0=\mathbb{R}$, или $R\subset\mathbb{C}$.

Алгебраическая структура множества $\mathbb{C}$ относительно операций сложения и умножения имеет следующие свойства:1. коммутативность сложения и умножения2. ассоциативность сложения и умножения3.

$0+i0$ – нейтральный элемент для сложения4. $1+i0$ – нейтральный элемент для умножения5. умножение дистрибутивно по отношению к сложению

6.

существует единственный обратный элемент как для сложения, так и для умножения.

Источник: https://www.math10.com/ru/algebra/chisla.html

Рациональные числа, определение, примеры

Рациональные и натуральные числа
Числа, действия с числами

В этой статье мы начнем изучать рациональные числа. Здесь мы дадим определения рациональных чисел, дадим необходимые пояснения и приведем примеры рациональных чисел. После этого остановимся на том, как определить, является ли данное число рациональным или нет.

Определение и примеры рациональных чисел

В этом пункте мы дадим несколько определений рациональных чисел. Несмотря на различия в формулировках, все эти определения имеют единый смысл: рациональные числа объединяют целые числа и дробные числа, подобно тому, как целые числа объединяют натуральные числа, противоположные им числа и число нуль. Иными словами, рациональные числа обобщают целые и дробные числа.

Начнем с определения рациональных чисел, которое воспринимается наиболее естественно.

Рациональные числа – это числа, которые можно записать в виде положительной обыкновенной дроби , отрицательной обыкновенной дроби или числа нуль.

Из озвученного определения следует, что рациональным числом является:

  • Любое натуральное число n. Действительно, можно представить любое натуральное число в виде обыкновенной дроби, например, 3=3/1.
  • Любое целое число, в частности, число нуль. В самом деле, любое целое число можно записать в виде либо положительной обыкновенной дроби, либо в виде отрицательной обыкновенной дроби, либо как нуль. Например, 26=26/1, .
  • Любая обыкновенная дробь (положительная или отрицательная). Это напрямую утверждается приведенным определением рациональных чисел.
  • Любое смешанное число. Действительно, всегда можно представить смешанное число в виде неправильной обыкновенной дроби. Например, и .
  • Любая конечная десятичная дробь или бесконечная периодическая дробь. Это так в силу того, что указанные десятичные дроби переводятся в обыкновенные дроби. К примеру, , а 0,(3)=1/3.

Также понятно, что любая бесконечная непериодическая десятичная дробь НЕ является рациональным числом, так как она не может быть представлена в виде обыкновенной дроби.

Теперь мы можем с легкостью привести примеры рациональных чисел. Числа 4, 903, 100 321 – это рациональные числа, так как они натуральные. Целые числа 58, −72, 0, −833 333 333 тоже являются примерами рациональных чисел. Обыкновенные дроби 4/9, 99/3, – это тоже примеры рациональных чисел. Рациональными числами являются и числа .

Из приведенных примеров видно, что существуют и положительные и отрицательные рациональные числа, а рациональное число нуль не является ни положительным, ни отрицательным.

Озвученное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более краткой форме.

Рациональными числами называют числа, которые можно записать в виде дроби z/n, где z – целое число, а n – натуральное число.

Докажем, что данное определение рациональных чисел равносильно предыдущему определению. Мы знаем, что можно рассматривать черту дроби как знак деления, тогда из свойств деления целых чисел и правил деления целых чисел следует справедливость следующих равенств и . Таким образом, , что и является доказательством.

Приведем примеры рациональных чисел, основываясь на данном определении. Числа −5, 0, 3, и являются рациональными числами, так как они могут быть записаны в виде дробей с целым числителем и натуральным знаменателем вида и соответственно.

Определение рациональных чисел можно дать и в следующей формулировке.

Рациональные числа – это числа, которые могут быть записаны в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Это определение также равносильно первому определению, так как всякой обыкновенной дроби соответствует конечная или периодическая десятичная дробь и обратно, а любому целому числу можно сопоставить десятичную дробь с нулями после запятой.

Например, числа 5, 0, −13, представляют собой примеры рациональных чисел, так как их можно записать в виде следующих десятичных дробей 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 и −7,(18).

Закончим теорию этого пункта следующими утверждениями:

  • целые и дробные числа (положительные и отрицательные) составляют множество рациональных чисел;
  • каждое рациональное число может быть представлено в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем, а каждая такая дробь представляет собой некоторое рациональное число;
  • каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а каждая такая дробь представляет собой некоторое рациональное число.

К началу страницы

В предыдущем пункте мы выяснили, что любое натуральное число, любое целое число, любая обыкновенная дробь, любое смешанное число, любая конечная десятичная дробь, а также любая периодическая десятичная дробь является рациональным числом. Это знание нам позволяет «узнавать» рациональные числа из множества написанных чисел.

Но как быть, если число задано в виде некоторого числового выражения, или как корень, степень, логарифм и т.п., как ответить на вопрос, является ли данное число рациональным? Во многих случаях ответить на него очень сложно. Укажем некоторые направления ходу мысли.

Если число задано в виде числового выражения, которое содержит лишь рациональные числа и знаки арифметических действий (+, −, · и :), то значение этого выражения представляет собой рациональное число. Это следует из того, как определены действия с рациональными числами. Например, выполнив все действия в выражении , мы получаем рациональное число 18.

Иногда, после упрощения выражений и более сложного вида, появляется возможность определить, рационально ли заданное число.

Пойдем дальше. Число 2 является рациональным числом, так как любое натуральное число является рациональным. А как насчет числа ? Является ли оно рациональным? Оказывается, что нет, – не является рациональным числом, это иррациональное число (доказательство этого факта методом от противного приведено в учебнике по алгебре за 8 класс, указанном ниже в списке литературы).

Также доказано, что квадратный корень из натурального числа является рациональным числом только в тех случаях, когда под корнем находится число, являющееся полным квадратом некоторого натурального числа. Например, и – рациональные числа, так как 81=92 и 1 024=322, а числа и не являются рациональными, так как числа 7 и 199 не являются полными квадратами натуральных чисел.

А число рационально или нет? В данном случае несложно заметить, что , следовательно, данное число – рациональное.

А является ли число рациональным? Доказано, что корень k-ой степени из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под знаком корня является k-ой степенью некоторого целого числа.

Поэтому не является рациональным числом, так как не существует целого числа, пятая степень которого равна 121.

Метод от противного позволяет доказывать, что логарифмы некоторых чисел по некоторым основаниям не являются рациональными числами. Для примера докажем, что – не рациональное число.

Предположим противное, то есть, допустим, что – рациональное число и его можно записать в виде обыкновенной дроби m/n. Тогда свойства логарифма и свойства степени дают следующие равенства: .

Последнее равенство невозможно, так как в левой его части находится нечетное число 5n, а в правой части – четное число 2m.

Следовательно, наше предположение неверно, таким образом, не является рациональным числом.

В заключение стоит особо отметить, что при выяснении рациональности или иррациональности чисел следует воздержаться от скоропостижных выводов.

Например, не стоит сразу утверждать, что произведение иррациональных чисел π и e является иррациональным числом, это «как бы очевидно», но не доказано. При этом возникает вопрос: «А с чего бы произведению быть рациональным числом»? А почему бы и нет, ведь можно привести пример иррациональных чисел, произведение которых дает рациональное число: .

Также неизвестно, являются ли числа и многие другие числа рациональными или не являются таковыми. Например, существуют иррациональные числа, иррациональная степень которых является рациональным числом. Для иллюстрации приведем степень вида , основание данной степени и показатель степени не являются рациональными числами, но , а 3 – рациональное число.

  • Математика. 6 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. – 22-е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
  • Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 16-е изд. – М. : Просвещение, 2008. – 271 с. : ил. – ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Некогда разбираться?

Закажите решение

К началу страницы

Источник: http://www.cleverstudents.ru/numbers/rational_numbers.html

Действительные числа, рациональные числа и иррациональные числа

Рациональные и натуральные числа

В ходе изучения математики мы сталкивались с различными числами.

Натуральные числа

Числа, используемые при счете называются натуральными числами. Например, $1,2,3$ и т.д. Натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое обозначают $N$ .Данное обозначение исходит от латинского слова naturalis- естественный.

Противоположные числа

Определение 1

Если два числа отличаются только знаками, их называют в математике противоположными числами.

Например, числа $5$ и $-5$ противоположные числа, т.к. отличаются только знаками.

Замечание 1

Для любого числа есть противоположное число, и притом только одно.

Замечание 2

Число нуль противоположно самому себе.

Целые числа

Определение 2

Целыми числами называют натуральные, противоположные им числа и нуль.

Множество целых чисел включает в себя множество натуральных и противоположных им.

Обозначают целые числа $Z.$

Дробные числа

Числа вида $\frac{m}{n}$ называют дробями или дробными числами. Так же дробные числа можно записывать десятичной форме записи, т.е. в виде десятичных дробей.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Например:$\ \frac{3}{5}$ , $0,08$ и Т.Д.

Так же, как и целые, дробные числа могут быть как положительными, так и отрицательными.

Рациональные числа

Определение 3

Рациональными числами называется множество чисел, содержащее в себе множество целых и дробных чисел.

Любое рациональное число, как целое, так и дробное можно представить в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$- целое число, а $b$- натуральное.

Таким образом, одно и то же рациональное число можно записать разными способами.

Например,

Отсюда видно, что любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби.

Множество рациональных чисел обозначается $Q$.

В результате выполнения любого арифметического действия над рациональными числами полученный ответ будет рациональным числом. Это легко доказуемо, в силу того, что при сложении, вычитании, умножении и делении обыкновенных дробей получится обыкновенная дробь

Иррациональные числа

В ходе изучения курса математики часто приходится сталкиваться в решении с числами, которые не являются рациональными.

Например, чтобы убедиться в существовании множества чисел, отличных от рациональных решим уравнение $x2=6$.Корнями этого уравнения будут числа $\surd 6$ и -$\surd 6$. Данные числа не будут являться рациональными.

Так же при нахождении диагонали квадрата со стороной $3$ мы применив теорему Пифагора получим, что диагональ будет равна $\surd 18$. Это число также не является рациональным.

Такие числа называются иррациональными.

Итак, иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.

Одно из часто встречающихся иррациональных чисел- это число $\pi $

При выполнении арифметических действий с иррациональными числами получаемый результат может оказаться и рациональным, так и иррациональным числом.

Докажем это на примере нахождения произведения иррациональным чисел. Найдем:

  1. $\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}$

  2. $\ \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$

Решениею

  1. $\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6} = 6$

  2. $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$

На этом примере видно, что результат может оказаться как рациональным, так и иррациональным числом.

Если в арифметических действиях участвуют рациональное и иррациональные числа одновременно, то в результате получится иррациональное число ( кроме, конечно, умножения на $0$).

Действительные числа

Множеством действительных чисел называется множество содержащее множество рациональных и иррациональных чисел.

Обозначается множество действительных чисел $R$. Символически множество действительных чисел можно обозначить $(-?;+?).$

Мы говорили ранее о том, что иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь, а любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби, поэтому действительным числом будет являться любая конечная и бесконечная десятичная дробь.

При выполнении алгебраических действий будут выполняться следующие правила

  1. при умножении и делении положительных чисел полученное число будет положительным
  2. при умножении и делении отрицательных чисел полученное число будет положительным
  3. при умножении и делении отрицательного и положительного чисел полученное число будет отрицательным

Также действительные числа можно сравнивать друг с другом.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/deystvitelnye_chisla_racionalnye_chisla_i_irracionalnye_chisla/

Натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа

Рациональные и натуральные числа

Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ -является подмножеством множества действительных чисел $\mathbb{R}$, для которого справедливо:

  1. $1 \in \mathbb{N}$ 
  2. из $k \in \mathbb{N}$ следует $k+1 \in \mathbb{N}$ 
  3. если подмножество $M$ множества $\mathbb{N}$ удовлетворяет условиям 1. и 2, тогда $ M = \mathbb{N}$. 

$$\mathbb{N} = \left\{ {1,2,….,n,…} \right\}$$

Множество целых чисел $\mathbb{Z} = \left\{ {0, + 1, – 1, + 2, – 2,…, + n, – n,…} \right\}$ – подмножество множества действительных чисел $\mathbb{R}$, такое, что $$\mathbb{Z} = \left\{ {x \in \mathbb{R} \left| {x = m – k,{\rm{ }}m,k \in \mathbb{N} } \right.} \right\}$$

Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ подмножество множества действительных чисел $\mathbb{R}$, такое, что $$\mathbb{Q} = \left\{ {x \in \mathbb{R} \left| x \right. = \frac{p}{q},{\rm{ }}p,q \in \mathbb{Z},{\rm{ }}q e 0} \right\}$$

Множество иррациональных чисел $\mathbb{I}$ подмножество множества действительных чисел $\mathbb{R}$, такое, что $$\mathbb{I} = \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$$

Справедливо следующее утверждение: $$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $$

Приближенное значение

Пусть $x*$ -приближенное значение числа $x$. Чтобы узнать, на сколько приближенное значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее. $$\Delta \left( {x*} \right) = x – x*,$$ 

Иначе говоря, надо найти модуль разности точного и приближенного значений. Этот модуль разности называют абсолютной погрешностью. $$\left| {\Delta \left( {x*} \right)} \right| = \left| {x – x*} \right|.$$

Число ${\Delta _{{x*}}}$, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью приближенного значения $x*$. $$\left| {\Delta \left( {x*} \right)} \right| \le {\Delta _{{x*}}}$$

Относительной погрешностью приближенного значения $x* e 0$ называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения: $$\delta \left( {x*} \right) = \frac{{\left| {\Delta \left( {x*} \right)} \right|}}{{\left| {x*} \right|}} = \frac{{\left| {x – x*} \right|}}{{x*}}$$

Число ${\delta _{{x*}}}$, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью приближенного значения $x*$. $$\delta \left( {{x*}} \right) \le {\delta _{{x*}}}$$

Если известна предельная абсолютная погрешность ${\Delta _{{x*}}}$, за предельную относительную погрешность можно взять $${\delta _{{x*}}} = \frac{{{\Delta _{{x*}}}}}{{\left| {{x*}} \right|}},$$ число $x$ записывается в виде: $$x = {x*}\left( {1 \pm {\delta _{{x*}}}} \right)$$

Можно представить относительную погрешность в процентах – в этом случае её нужно умножить на 100. Так вы узнаете, какой процент от полученного вами значения составляет погрешность.

Формы записи приближенных чисел

Приближенные числа записываются либо в виде конечных десятичных дробей, либо в виде целых чисел.

Естественной (позиционной, с фиксированной точкой) формой записи конечной десятичной дроби называется следующая запись

$${x*} = \pm \left( {{a_n} \cdot {{10}n} + {a_{n – 1}} \cdot {{10}{n – 1}} + …. + {a_{0}} \cdot {{10}{0}} + {a_{-1}} \cdot {{10}{-1}}+ … + {a_{- m}} \cdot {{10}{- m}}} \right).$$

Определение естественной (позиционной, с фиксированной точкой) формой записи целого числа дается аналогично.

Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Например, число 1.7230 имеет 5 значащих цифер, а число 0.0491 имеет 3 значащих цифры.

Цифра приближенногочисла называется верной в широком смысле, если абсолютная (предельная абсолютная) погрешность этого числа не превосходит единицы десятичного разряда, соответствующего этой цифре, в противном случае сомнительной в широком смысле.

Цифра приближенногочисла называется верной в узком смысле, если абсолютная (предельная абсолютная) погрешность этого числа не превосходит половины единицы десятичного разряда, соответствующего этой цифре, в противном случае сомнительной в узком смысле.

Приближенное значение $x*$ числа $x$ для которого

$$\left| {x – {x*}} \right| \le \omega \cdot {10{n – m + 1}},\omega \in \left[ {0.5,1} \right]$$

имеет $m$ значащих цифр, верных в узком смысле, если $\omega = 0.5$ и верных в узком смысле, если $\omega = 1$.

Источник: http://www.rajak.rs/ru/opredeleniya/arifmetika-i-algebra/naturalnye-celye-racionalnye-i-irracionalnye-cisla-84.html

Врач Фролов
Добавить комментарий